Вычислить определитель используя свойства определителя

Доказательство проводится проверкой, то есть сравнением обеих частей записанного равенства. Вычислим определители, стоящие слева и справа:. Доказательство проводится аналогично доказательству свойства 1 сравнением обеих частей. Проведём его для определителя второго порядка. Докажем это равенство, используя предыдущие свойства определителя. Эти свойства определителей довольно часто используются при вычислении определителей и в различных задачах.

Минором , соответствующим данному элементу a ij определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, то есть i -ой строки и j -го столбца. Миноры соответствующие данному элементу a ij будем обозначать M ij. Например , минором M 12 , соответствующим элементу a 12 , будет определитель , который получается вычёркиванием из данного определителя 1-ой строки и 2-го столбца.

Аналогично можно ввести определения миноров для определителей второго порядка и высших порядков. Легко видеть, что используя алгебраические дополнения элементов, формулу 1 можно записать в виде:. Аналогично этой формуле можно получить разложение определителя по элементам любой строки или столбца. Например, разложение определителя по элементам 2-ой строки можно получить следующим образом.

Согласно свойству 2 определителя имеем:. Отсюда так как определители второго порядка в формуле 2 есть миноры элементов a 21 , a 22 , a Таким образом, , то есть мы получили разложение определителя по элементам 2-ой строки. Аналогично можно получить разложение определителя по элементам третьей строки.

Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Миноры, алгебраические дополнения.

Используя свойство 1 определителей о транспонировании , можно показать, что аналогичные разложения справедливы и при разложении по элементам столбцов. Теорема о разложении определителя по заданной строке или столбцу. Определитель равен сумме произведений элементов какой—либо его строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Если A — квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A -1 и удовлетворяющая условию. Это определение вводится по аналогии с умножением чисел. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля. Прежде всего заметим, что можно доказать следующее свойство определителей. Но с другой стороны. Заметим, что все диагональные элементы матрицы C будут равны 1. Кроме того, все недиагональные элементы матрицы C равны нулю.

Если условия теоремы выполнены, то матрица обратная к матрице находится следующим образом. Аналогично для матриц второго порядка, обратной будет следующая матрица. Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию Вычислим определители, стоящие слева и справа: При перестановке 2-х строк или столбцов определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т.

Для определителя третьего порядка проверьте самостоятельно. Если определитель имеет две одинаковые строки или столбца, то он равен нулю. Общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя.

Доказательство проводится проверкой, как и свойство 1. Самостоятельно Если все элементы какой—либо строки или столбца определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю. Если все элементы какой—либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле, например,.

Доказательство - проверкой, аналогично свойству 1. Если к какой—либо строке или столбцу определителя прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца , умноженные на одно и тоже число, то определитель не изменит своей величины.